题目内容
【题目】已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn= 
an ．
（1）求a2 ， a3 ， 及{an}的通项公式．
（2）求{ 
}的前n项和Tn ， 并证明：1≤Tn＜2．
【答案】
（1）解：由S2= 
a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，
解得：a2=3a1=3；
由S3= 
a3得3（a1+a2+a3）=5a3，
解得：a3= 
（a1+a2）=6．
由题设知a1=1，
当n＞1时有an=Sn﹣Sn﹣1= 
an﹣ 
an﹣1，
整理得：an= 
an﹣1．
于是a1=1，a2= 
a1，a3= 
a2，…，an﹣1= 
an﹣2，an= an﹣1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an= 
，
综上，{an}的通项公式an=
（2）解：∵ 
= 
，
∴Tn=2[ 
+ 
+…+ 
]=2（1﹣ 
+ ﹣ 
+…+ 
﹣ 
）=2（1﹣ ）=2﹣ 
＜2，即Tn＜2，
又Tn+1＞Tn，{Tn}单调增，
∴Tn＞=T1=1，
则1≤Tn＜2
【解析】（1）根据已知等式确定出a2 ， a3 ， 得出{an}的通项公式即可；（2）表示出{ }的前n项和Tn ， 根据前n项和Tn为递增数列，确定出Tn的范围，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题．
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