Question

3．已知关于x的函数f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中m∈R，其在（1，0）处的切线所对应函数g（x）同时满足g（x）-g（-x）=0，g（x）+g（-x）=0
（1）已知函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，求实数k的取值范围
（2）已知p≤0，若对任意的x∈[1，2]，总有成立f（x）≥$\frac{（p-2）x}{2}+\frac{p+2}{2x}+2x-{x}^{2}$，求P的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由函数f（x）在（1，0）处的切线斜率为0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；求f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到函数的极大值，也为最大值0，再由题意可得k²-2k＞0，解得即可；
（2）设F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+（2x-x² ），化简整理，对p讨论，p=0，p=-1，-1＜p＜0，p＜-1，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到p的范围

解答 解：（1）函数f（x）的导数f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由函数g（x）同时满足g（x）-g（-x）=0，g（x）+g（-x）=0，
得：g（x）=g（-x）=0
即：函数f（x）在（1，0）处的切线斜率为0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即为2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx，
f（x）=-x²+x+lnx的导数为f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{2}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
则有f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，
由于函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，则k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0；
（2）设F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x² ）=lnx-$\frac{p}{2}$x-$\frac{p+2}{2x}$，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{p}{2}$+$\frac{p+2}{{2x}^{2}}$=$\frac{-{px}^{2}+2x+（p+2）}{{2x}^{2}}$，
当p=0时，F′（x）=$\frac{2x+2}{{2x}^{2}}$＞0，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-1＜0不成立，（舍）
当p≠0时F′（x）=$\frac{-p（x+1）（x-\frac{p+2}{p}）}{{2x}^{2}}$，
当1+$\frac{2}{p}$＜-1，即-1＜p＜0时，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-p-1＜0，不成立；
当-1＜1+$\frac{2}{p}$≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，
所以，此时p＜-1；
当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
综上，p的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立思想，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．