Question

（2011•昌平区二模）已知数列{a_n}满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=

2

3

(

1

an

+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）条件可变形为a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，整理得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，两边同除以a_na_n+1，可得

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，从而可得数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，公差为

3

2

的等差数列．                    
（II）由（Ⅰ）可得数列{

1

an

}的通项公式为

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

，从而可得ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．只需证明

3k2+7k+2

2

是正整数即可．
（Ⅲ）由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．下面用数学归纳法证明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²对任意n∈N*都成立．对于当n=k（k∈N*）时，有2^k+4＞（k+4）²，当n=k+1时，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²，从而可证．

解答：解：（Ⅰ）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以

1

an+1

-

1

an

=

3

2

所以数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，公差为

3

2

的等差数列．                    
（II）由（Ⅰ）可得数列{

1

an

}的通项公式为

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

∴ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．             
因为

3k2+7k+2

2

=k2 +3k+1+

k(k+1)

2

当k∈N^*时，

k(k+1)

2

一定是正整数，所以

3k2+7k+2

2

是正整数．
所以a_k-a_k+1是数列{a_n}中的项，是第

3k2+7k+2

2

项．                 
（Ⅲ）证明：由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．
下面用数学归纳法证明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²对任意n∈N*都成立．
（1）当n=1时，显然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，有2^k+4＞（k+4）²，
当n=k+1时，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：2bn+1＞bn+12也成立．
综合（i）（ii）知：对任意n∈N^*，都有不等式2bn＞bn2成立．

点评：本题以数列递推式为载体，考查等差数列的定义，考查不等式的证明，解题的关键是正确利用递推式求通项，掌握数学归纳法的证题步骤．