Question

（2011•昌平区二模）如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为

π

6

？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）O是AD₁的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD₁，再由线面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，进而线线面垂直的性质定理得到AB⊥A₁D，结合A₁D⊥AD₁及线面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，进而D₁E⊥A₁D；
（3）以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），分别求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D₁-MC-D的大小为

π

6

，结合向量夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得M占的坐标，进而求出AM长．

解答：证明：（1）四边形ADD₁A₁为正方形，O是AD₁的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD₁的中位线∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OB?平面A₁DE∴BD₁∥平面A₁DE  …（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AE⊥A₁D，
又∵A₁D⊥AD₁，AE∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
解：（3）由题意可得：D₁D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
设M（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），∵

MC

=(-1，2-y0，0)，

D1C

=(0，2，-1)
设平面D₁MC的法向量为n₁=（x，y，z）则

n1 • MC =0 n1 • D1C =0

，得 

-x+y(2-y0)=0 2y-z=0

取D₁MC是平面D₁MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为n₂=（0，0，1）要使二面角D₁-MC-D的大小为

π

6

，
而cos

π

6

=|cos＜n1，n2＞|=

|n1•n2|

|n1|•|n2|

=

2

(2-y0)2+12+22

=

3

2

解得：y0=2-

3

3

(0≤y0≤2)，当AM=2-

3

3

时，二面角D₁-MC-D的大小为

π

6

…（6分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得EO∥BD₁，（2）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（3）的关键是设出M点坐标，求出两个半平面的法向量，然后结合向量夹角公式构造方程．