题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点
,过动点
作直线
的垂线,垂足为
,且
.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
交曲线
于不同的两点
,
.
①若为线段
的中点,求直线
的方程;
②设关于
轴的对称点为
,求
面积
的取值范围.
【答案】(1)(2)①
.②
【解析】
(1)设,利用直接法求曲线的方程;
(2)①由已知,分析可知直线的斜率存在且不为零,设
,联立抛物线方程,利用韦达定理解决;②将
用直线
的斜率表示,即
,再结合
的范围即可解决.
(1)设,则
.
因为,所以
,
因为,所以
,即
.
所以曲线的方程为
.
(2)①若直线的斜率不存在,则
与曲线
无公共点,因此
的斜率存在;
若的斜率为0,则
与曲线
只有一个公共点,因此
的斜率不为0.
设,
由得
,于是
,解得
且
.
设,
,则
.
因为为线段
的中点,所以
.
又,所以
,
因此,所以
,符合
且
,
于是,此时直线
的方程为
.
②因为点,
关于
轴对称,所以
,
于是点到直线
的距离为
.
因为,所以
.
又,
所以.
因为,所以
.
又因为且
,因此
,
即面积
的取值范围为
.
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