Question

【题目】锐角△ABC中，其内角A，B满足：2cosA=sinB﹣ cosB．
（1）求角C的大小；
（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2cosA+ cosB=sinB，可得：cosA= sinB﹣ cosB=cos（ ﹣B），

又∵A，B为锐角，

∴0 ， ＜ ﹣B＜ ，

∴A= ﹣B，A+B= ，可得：C=π﹣ =

（2）解：设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，

则AEBC为平行四边形，

在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE= ，∠AEC= ﹣α，

由正弦定理可得： = = ，

所以，a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），

S△ABC= absin∠ABC= sin

=4sinαsin（ ﹣α）=2sinαcosα﹣2 sin2α

=sin2α+ cos2α﹣ =2sin（2α+ ）﹣ ，

当α= 时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣ ．

【解析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（ ﹣B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S△ABC=2sin（2α+ ）﹣ ，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．