Question

定义一：对于一个函数（），若存在两条距离为的直线和，使得在时， 恒成立，则称函数在
内有一个宽度为的通道。
定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道。
下列函数①，②，③，④，
⑤，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_____________

Answer 1

②③⑤

因为①f（x）=lnx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x₀，使得函数f（x）在[x₀，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
②，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数?，都存在一个实数x₀，使得函数f（x）在[x₀，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
③，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，对于任意给定的正数?，都存在一个实数x₀，使得函数f（x）在[x₀，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
④f（x）=x²，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x₀，使得函数f（x）在[x₀，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；、
⑤f（x）=e^-x，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定的正数?，都存在一个实数x₀，使得函数f（x）在[x₀，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤