Question

从A，B，C，D四个中选做2个A．选修4-1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．选修4-2（矩阵与变换）
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
C．选修4-4（坐标系与参数方程）
求直线

x=1+2t y=1-2t

（t为参数）被圆

x=3cosa y=3sina

（α为参数）截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

Answer 1

分析：A、连接OD、BD，确定△BOD是等边三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的长，最后根据题中圆的切线条件，依据切割线定理求得BC的长；
B、确定旋转变换矩阵，设xy=1上的任意点P'（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P（x，y），确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；
C、化参数方程为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可求得截得的弦长；
D、设x=y+z（z＞0），则原式=2（y+z）+

1

z2

=2y+2z+

1

z2

，利用基本不等式可得结论．

解答：A、解：连接OD、BD，
∵DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，
∵在直角三角形OCD中，CD=2，
∴可得OD=

2 3

3

，
∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得CD²=CB×CA，
即4=CB×（CB+

4 3

3

），∴BC=

2 3

3

；
B、解：由题意，得旋转变换矩阵M=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

设xy=1上的任意点P'（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P（x，y），则

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x′ y′

=

x y

∴x=

2

2

x′-

2

2

y′，y=

2

2

x′-

2

2

y′，
∵xy=1，∴

y2

2

-

x2

2

=1；
C、直线

x=1+2t y=1-2t

（t为参数）的普通方程为x+y-2=0，圆

x=3cosa y=3sina

（α为参数）的普通方程为x²+y²=9
∴圆心到直线的距离为

2

2

=

2

，∴截得的弦长为2

9-2

=2

7

；
D、证明：设x=y+z（z＞0），则原式=2（y+z）+

1

z2

=2y+2z+

1

z2

∵2z+

1

z2

=z+z+

1

z2

≥3
∴2y+2z+

1

z2

≥2y+3
∴2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

点评：本题考查选讲知识，考查几何证明选讲、旋转变换、参数方程、不等式的证明，综合性强．