题目内容
已知函数的自变量的取值区间为A,若其值域区间也为A,则称A为的保值区间.
(Ⅰ)求函数形如的保值区间;
(Ⅱ)函数是否存在形如的保值区间?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求函数形如的保值区间;
(Ⅱ)函数是否存在形如的保值区间?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)或.(Ⅱ)不存在
试题分析:(Ⅰ)因为时值域为。所以要使为保值区间,则。根据保值区间的定义可得,解方程即可得。(Ⅱ)将去绝对值改写为分段函数,讨论其单调性。同时讨论与单调区间的关系。根据保值区间的定义列方程计算。
试题解析:解(Ⅰ),又在是增函数,. . .
函数形如的保值区间有或. 2分
(Ⅱ)假设存在实数a,b使得函数,有形如的保值区间,则. 4分
当实数 时,在上为减函数,故,
即 =b与<b矛盾.
故此情况不存在满足条件的实数a,b. 5分
(2)当实数时,在为增函数,故
即得方程在上有两个不等的实根,而,
即无实根.
故此情况不存在满足条件的实数a,b. 6分
(3)当,,,而,.
故此情况不存在满足条件的实数a,b. 7分
综上所述,不存在实数使得函数,有形如的保值区间. 8分
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