题目内容

若二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（2）=f（-2），且函数的f（x）的一个零点为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的 $数学公式$ ，4m²f（x）+f（x-1）≥4-4m²恒成立，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）∵f（2）=f（-2）且f（1）=0，故函数图象的对称轴为x=0，
∴b=0，c=-1，∴f（x）=x²-1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知：4m²（x²-1）+（x-1）²-1+4m²-4≥0，在 $\text{[math]}$ 上恒成立，
整理得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立．…（6分）
令g（x）= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（8分）
当 $\text{[math]}$ 时，函数g（x）的最大值 $\text{[math]}$ ，…（10分）
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（Ⅰ）由题意可得函数图象的对称轴为x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=-1，从而得到函数的解析式．
（Ⅱ）由题意知，得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立．令g（x）= $\text{[math]}$ ，求得g（x）的最大值 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．