Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数且x∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=2x有两个相等实根，求a，b的值；
（2）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求函数f（x）的表达式；
（3）在（2）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）为偶函数，求出b，利用f（x）=2x有两个相等实根，△=0，求出a，即可得到a，b的值；
（2）若f（-1）=0，推出a，b的一个关系式，利用函数f（x）的值域为[0，+∞），得到a，b，的关系式，然后求a，b，得到函数f（x）的表达式；
（3）通过（2）的条件，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，利用二次函数的对称轴，求实数k的取值范围．

解答：解：（1）因为函数是偶函数，所以b=0，
因为f（x）=2x有两个相等实根，
即ax²+1=2x．有△=0，
所以a=1．
（2）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立．
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

，
∴b²-4（b-1）≤0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（3）g（x）=f（x）-kx
=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=（x+

2-k

2

）²+1-

(2-x)2

4

，
当

2-k

2

≥2或

2-k

2

≤-2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数奇偶性的性质，二次函数的性质的应用，考查计算能力．