题目内容
已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数.若至少存在一个
,使得
成立,求实数
的取值范围.
(1);(2)
时,
在
上单调递减;当
时,单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
时,
在
上单调递增;(3)实数
的取值范围为
.
解析试题分析:(1)当时,先确定
,接着求出
,进而求出
,最后由直线的点斜式即可写出所求的切线方程
;(2)先确定函数的定义域,设
,接着针对这个二次函数开口方向及与
轴正半轴有多少个交点的问题分
、
、
三类进行讨论,进而确定各种情况下的函数的单调区间,最后将各个情况综合描述即可;(3)法一:先将至少存在一个
,使得
成立的问题等价转化为:令
,等价于“当
时,
”,进而求取
即可解决本小问;法二:设
,定义域为
,进而将问题转化为等价于当
时,
,从中对参数
分
、
、
、
,进行求解即可.
函数的定义域为,
1分
(1)当时,函数
,
,
所以曲线在点
处的切线方程为
即 4分
(2)函数的定义域为
1.当时,
在
上恒成立
则在
上恒成立,此时
在
上单调递减 5分
2.当时,
(ⅰ)若
由,即
,得
或
6分
由,即
,得
7分
所以函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
9分
(ⅱ)若,
在
上恒成立,则
在
上恒成立,此时
在
上单调递增 10分
综上可知:时,
在
上单调递减;当
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