Question

3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为线段DF上一点．
（1）若P为DF中点，求证：BF∥平面ACP；
（2）若二面角P-AC-F的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AP与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD并与AC交于O，连接PO，便可得到BF∥PO，根据线面平行的判定定理即可得出BF∥平面ACP；
（2）容易说明AB，AC，AF三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后可确定点A，D，F的坐标．若过P作PG∥AF，作GH∥AB，便容易说明向量$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{HP}$的夹角即为二面角P-AC-F的大小，从而根据条件求出点P的坐标，而$\overrightarrow{AF}$是平面ABCD的法向量，从而根据AF和平面ABCD所成角θ的正弦值sinθ=|cos$＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AF}＞$|求出θ的大小．

解答 解：（1）证明：如图，连接BD交AC于O，连接PO，则：
PO为△BDF的中位线；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO?平面ACP，BF?平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；
∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），F（0，0，1），D（$-1，\sqrt{3}，0$）；
设P（x，y，z），设$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{DF}，（0＜λ＜1）$；
∴$（x+1，y-\sqrt{3}，z）=λ（1，-\sqrt{3}，1）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ-1}\\{y=\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}\\{z=λ}\end{array}\right.$；
∴$P（λ-1，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ，λ）$；
过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量$\overrightarrow{AF}$和$\overrightarrow{HP}$的夹角即为二面角P-AC-F的大小；
并且H的坐标为（0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，0）；
∴$\overrightarrow{HP}=（λ-1，0，λ）$，$\overrightarrow{AF}=（0，0，1）$；
∵二面角P-AC-F的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴二面角P-AC-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{HP}＞$=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{HP}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{HP}|}$=$\frac{λ}{\sqrt{（λ-1）^{2}+{λ}^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
解得$λ=\frac{2}{3}$，或λ=2（舍去）；
∴$P（-\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（-\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}）$；
$\overrightarrow{AF}$为平面ABCD的法向量，设AP与平面ABCD所成角为θ，则：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AF}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AF}|}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴AP与平面ABCD所成角的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 考查中位线的性质，线面平行的判定定理，建立空间直角坐标系，利用向量解决面面角和线面角的问题的方法，能确定空间点的坐标，线面垂直的性质定理，二面角的平面角的概念，共线向量基本定理，以及向量夹角余弦的坐标公式，线面角的定义，平面法向量的概念．