题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB..
＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB..
（1）
（2）
（3）见解析
（2）（3）见解析(1)解：由题设知，a＝2，b＝
，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为
.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝
＝.
(2)解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＝1，解得x＝±
，因此P
，A
.于是C
，直线AC的斜率为
＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝
(3)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝
.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·
＋1＝
＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB
，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.(2)解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程
＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝(3)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝
.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·＋1＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB
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为椭圆
右焦点，圆
与椭圆
，且直线
与圆
相切于点
.
的值及椭圆
满足
，其中M、N是椭圆
为原点，直线OM与ON的斜率之积为
，求证：
为定值.
＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝
，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．
与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
＝1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求证：△PF1F2的面积S＝b2tanθ.
)和
，并且经过点
，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
的最小值．
＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．
上的动点，点
.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.
时，求点M的坐标.
是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
B．
C．
D．
＝1的位置关系是________．