Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）是否存在实数，同时满足下列条件：①；②当的定义域为时，其值域为.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，见解析

【解析】

（1）利用换元法将原函数转化为一元二次函数，利用二次函数的图象与性质分类讨论求最小值；（2）由定义域的范围确定解析式，根据函数的单调性及值域列出方程组可求得，与已知条件矛盾，故满足题意的，不存在.

（1）设，∵，∴，则，

当时，在上单调递增，则；

当时，在上单调递减，在上单调递增，则；

当时，在上单调递减，则.

∴；

（2）假设满足题意的，存在，∵，∴，

∵函数在上是减函数，

根据题意可得，两式相减得，

又∵，∴，∴与矛盾.

∴满足题意的，不存在.