Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥底面ABCD，E为棱PA上一点．
（1）求证：BD⊥OE；
（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC，由此利用线面垂直的性质能证明BD⊥OE．
（2）由已知得$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{EP}$=2，由AB∥CD，AC与BD交于点O，得$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}$，从而利用平行线分线段成比例定理得OE∥PC，由此能证明EO∥平面PBC．

解答 （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，
∵AC⊥BD，且平面PAC⊥底面ABCD，BD∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC，
∵OE?平面PAC，∴BD⊥OE．
（2）证明：∵AB=2CD，AE=2EP，∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{EP}$=2，
∵AB∥CD，AC与BD交于点O，
∴△AOB∽△COD，∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}$，
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}$，∴OE∥PC，
∵EO?平面PBC，PC?平面PBC，
∴EO∥平面PBC．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．