Question

8．如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=$\sqrt{3}$AD，AB=2AD，则sinB等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 由题意设AD=2x，则AC=CD=$\sqrt{3}$x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC，进而可得sin∠ADB，在△ADB中由正弦定理可得sinB．

解答 解：由题意设AD=2x，则AC=CD=$\sqrt{3}$x，AB=4x，
在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC=$\frac{4{x}^{2}+3{x}^{2}-3{x}^{2}}{2•2x•\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ADB=sin∠ADC=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴在△ADB中由正弦定理可得sinB=$\frac{ADsin∠ADB}{AB}$=$\frac{2x•\frac{\sqrt{6}}{3}}{4x}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故选：C

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题．