Question

15．在△ABC中，已知sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB．
（1）求证：a、b、c成等差数列；
（2）求角B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件，结合和角的正弦公式化简，再利用正弦定理，即可得出结论．
（2）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，两式联立小于b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围；

解答 证明：（1）∵sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA$\frac{1+cosC}{2}$+sinC$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵A+B+C=π，
∴A+C=π-B，
∴sinA+sinC+sin（π-B）=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
∴根据正弦定理得：a+c=2b．即c-b=b-a，
故a、b、c成等差数列；
（2）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
又cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴消去b化简得：cosB=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）}{8ac}-\frac{1}{4}$≥$\frac{6ac}{8ac}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
又B为三角形的内角，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．