Question

7．（1）已知f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式，其中φ取使|φ|最小的值；
（2）将函数cosx横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，再向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到g（x），求出g（x）的解析式；
（3）证明图中即为g（x）的部分图象．

Answer 1

分析 （1）由图象可求T，利用周期公式可求ω，由点（-$\frac{π}{6}$，0）在函数图象上，可得：sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，解得φ，取使|φ|最小的值，可得f（x）的解析式；
（2）由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．
（3）利用诱导公式可证明g（x）=f（x），从而得证．

解答 解：（1）由函数图象可得：周期T=$\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）$=π，又$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
由点（-$\frac{π}{6}$，0）在函数图象上，可得：sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，
解得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
φ取使|φ|最小的值，可得φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可得函数y=cos2x的图象；
再向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得函数g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{12}$）]=cos（2x-$\frac{π}{6}$）图象，
（3）g（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）=sin[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$）]=sin（$\frac{2π}{3}$-2x）=sin[π-（$\frac{2π}{3}$-2x）]=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=f（x），
故图中即为g（x）的部分图象．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．