题目内容
17.若椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左右焦点为F1、F2,P是椭圆上一点,当△F1PF2的面积最大时,$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值为( )A. | 0 | B. | 2 | C. | 4 | D. | -2 |
分析 求出椭圆的a,b,c,设出P(m,n),由△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|n|,由题意的范围,可得当|n|=1时,S最大.求得P的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,计算即可得到所求.
解答 解:椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$,
设P的坐标为(m,n),则n|≤1,
△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|n|
=c|n|=$\sqrt{3}$|n|,
当|n|=1时,S最大.
即有P(0,±1),
又F1(-$\sqrt{3}$,0),F2($\sqrt{3}$,0),
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=(-$\sqrt{3}$-m,-n),$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=($\sqrt{3}$-m,-n),
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=m2-3+n2=0-3+1=-2.
故选D.
点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的范围的运用,同时考查向量的数量积的坐标表示,属于中档题.
练习册系列答案
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8.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+$\frac{y^2}{m}$=1的离心率为( )
A. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或 $\sqrt{5}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$ |