题目内容

6.设a1=2,an+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$,n∈N*,求证:an<$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$.

分析 根据递推公式和基本不等式求出an+1的范围,运用数学归纳法证明:先证n=1、2成立,再假设n=k成立,利用放缩法和作差法证明n=k+1也成立.

解答 证明:∵a1=2,an+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$,n∈N*
∴an>0,an+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$2\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}×\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{2}$,当且仅当$\frac{{a}_{n}}{2}=\frac{1}{{a}_{n}}$,即${a}_{n}=\sqrt{2}$时取等号,
①当n=1时,a1=2<$\sqrt{2}+\frac{1}{1}$=$\sqrt{2}$+1,
当n=2时,a2=1+$\frac{1}{2}$<$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$,
②假设当n=k(k≥3)时,$\sqrt{2}≤$ak<$\sqrt{2}+\frac{1}{k}$,则$\frac{1}{{a}_{k}}≤\frac{1}{\sqrt{2}}$,
那么当n=k+1时,${a}_{k+1}=\frac{{a}_{k}}{2}+\frac{1}{{a}_{k}}$<$\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\frac{1}{k})+\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2k}$,
∵$\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-2k}{2k(k+1)}$=$\frac{1-k}{2k(k+1)}$<0,∴$\frac{1}{2k}<\frac{1}{k+1}$,
∴$\sqrt{2}+\frac{1}{2k}$<$\sqrt{2}+\frac{1}{k+1}$,
则当n=k+1时,an<$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$成立,
故对任意n∈N*,有an<$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$.

点评 本题考查数学归纳法证明数列有关的不等式的应用,基本不等式,以及放缩法和作差法的应用,考查化简变形能力、分析、解决问题的能力,属于难题.

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