Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，设右焦点为F₁，离心率为e．
（1）若椭圆过点$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的焦距为4，设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x²+y²=4上，设直线AB的斜率为k，若$k≥\sqrt{3}$，求e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为：y=kx，联立椭圆方程和圆方程，求得k，b的方程，若b=2，c=2，则a²=8，结合条件$k≥\sqrt{3}$，由离心率公式解不等式可得e的取值范围．

解答 解：（1）因为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
设$c=k，a=\sqrt{2}k（k＞0），则b=k$，
椭圆方程为：$\frac{x^2}{{2{k^2}}}+\frac{y^2}{k^2}=1$，
因为椭圆过点$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，代入椭圆方程，
得：$\frac{2}{{2{k^2}}}+\frac{3}{k^2}=1⇒k=2$，
所以，椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设直线AB的方程为：y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{{k^2}{x^2}}}{b^2}=1\\{x^2}+{k^2}{x^2}=4\end{array}\right.$，$⇒\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}）{x^2}=1\\（1+{k^2}）{x^2}=4\end{array}\right.⇒\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=\frac{1}{4}（1+{k^2}）⇒（\frac{4}{b^2}-1）{k^2}=1-\frac{4}{a^2}$，
若b=2，c=2，则a²=8，不合题意，所以$\frac{4}{b^2}-1≠0$，
所以${k^2}=\frac{{1-\frac{4}{a^2}}}{{\frac{4}{b^2}-1}}≥3$，
又c=2，$\frac{4}{a^2}={e^2}$，${b^2}={a^2}-4=\frac{4}{{\frac{4}{a^2}}}-4=\frac{4}{e^2}-4$，
所以${k^2}=\frac{{1-{e^2}}}{{\frac{4}{{\frac{4}{e^2}-4}}-1}}=\frac{{1-{e^2}}}{{\frac{e^2}{{1-{e^2}}}-1}}=\frac{{{{（1-{e^2}）}^2}}}{{2{e^2}-1}}=\frac{{{e^4}-2{e^2}+1}}{{2{e^2}-1}}≥3$，
所以$\frac{{{e^4}-8{e^2}+4}}{{2{e^2}-1}}≥0⇒{e^2}∈（\frac{1}{2}，4-2\sqrt{3}]∪[4+2\sqrt{3}，+∞）$，
又e∈（0，1），
所以${e^2}∈（\frac{1}{2}，4-2\sqrt{3}]⇒e∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线和椭圆及圆方程联立，直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．