Question

16．已知椭圆C₁：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）有一公共焦点，抛物线C₂的准线l与椭圆C₁有一交点坐标是（$\sqrt{2}$，-2）．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C₁分别交于点E，F，求$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由准线方程y=-2，可得抛物线的方程；再由椭圆的焦点坐标，可得椭圆的c=2，运用椭圆的定义可得a，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）设点P（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），求得切线的斜率，得到切线AP的方程，求得AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围．

解答 解：（1）抛物线C₂的准线方程是y=-2，
所以$\frac{p}{2}=2⇒p=4$，所以抛物线C₂的方程是：x²=8y，
椭圆${C_1}：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点坐标是（0，-2），（0，2），
所以c=2，$2a=\sqrt{2+0}+\sqrt{2+{{（2+2）}^2}}=4\sqrt{2}$，
所以$a=2\sqrt{2}，b=2$，即椭圆C₁的方程是$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1；
（2）设点P（t，-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），
抛物线方程可以化为：$y=\frac{1}{8}{x^2}$，$y'=\frac{1}{4}x$，
所以AP的方程为：$y-{y_1}=\frac{1}{4}{x_1}（x-{x_1}）$，
所以$-2-{y_1}=\frac{1}{4}{x_1}t-2{y_1}$，即${y_1}=\frac{1}{4}t{x_1}+2$，同理：${y_2}=\frac{1}{4}t{x_2}+2$，
所以直线AB的方程为：$y=\frac{1}{4}tx+2$，
将直线AB方程代入椭圆C₁的方程得到：（t²+32）x²+16tx-64=0，
则△=256t²+256（t²+32）＞0，
且${x_3}+{x_4}=\frac{-16t}{{{t^2}+32}}，{x_3}{x_4}=\frac{-64}{{{t^2}+32}}$，
所以$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}={x_3}{x_4}+{y_3}{y_4}=（1+\frac{t^2}{16}）{x_3}{x_4}+\frac{t}{2}（{x_3}+{x_4}）+4=\frac{{-8{t^2}+64}}{{{t^2}+32}}=\frac{320}{{{t^2}+32}}-8$，
因为$0＜\frac{320}{{{t^2}+32}}≤10$，
所以$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范围是（-8，2]．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线及椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程或抛物线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．