Question

设，，其中a，b为非零实常数．
（1）若，，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），当且仅当x₁=x₂时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．

Answer 1

解：（1）由已知=，（2分）
由得：，（1分）
∵，（1分）
∴，． （1分）
（2）由已知，得，（1分）
①∵当时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当时，∵或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数． （2分）（没有过程扣1分）
（3）对于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，由已知，有sin2x₂-sin2x₁＜2（x₂-x₁），（2分）
∴g（x₁）-g（x₂）=a（x₁-x₂）+（sin2x₂-sin2x₁）＜（a-2）（x₁-x₂），
∵a≥2，∴g（x₁）-g（x₂）＜0． （3分）
故，函数g（x）是递增函数． （1分）
注：由于用求导的方法证明不用已知条件，不给分．
分析：（1）由已知中=，根据，，我们要以构造一个三角方程，结合正弦函数的图象和性质得到答案．
（2）由已知中，根据函数奇偶性的定义及性质，以及正弦型函数的性质，对b的值进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到结论．
（3）由已知中对于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），已知中不应该含绝对值吧，结合已知中，利用作差法，易判断出g（x₁）-g（x₂）＜0，进而根据函数单调性的定义，得到结论．
点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换应用，辅助角公式，正弦型函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的单调性，是函数问题比较综合的考查，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．