题目内容

(2012•宝山区一模)已知函数f(x)=
-3x+a3x+1+b

(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.
分析:(1)由题意可得
1-3x
3x+1+1
≥3x从中解得-1≤3x
1
3
,解此指数不等式即可求得x的取值范围;
(2)由f(0)=0,可求得a,f(1)+f(-1)=0可求得b,从而可得y=f(x)的解析式;利用单调性的定义,对任意x1,x2∈R,x1<x2,再作差f(x1)-f(x2),最后判断符号即可.
解答:解:(1)由题意,
1-3x
3x+1+1
≥3x,化简得3•(3x2+2×3x-1≤0…(2分)
解得-1≤3x
1
3
…(4分)
所以x≤-1…((6分),如果是其它答案得5分)
(2)已知定义域为R,所以f(0)=
-1+a
3+b
=0⇒a=1,…(7分)
又f(1)+f(-1)=0⇒b=3,…(8分)
所以f(x)=
1-3x
3x+1+3
;…(9分)
f(x)=
1-3x
3x+1+3
=
1
3
1-3x
3x+1
)=
1
3
(-1+
2
3x+1

对任意x1,x2∈R,x1<x2
可知f(x1)-f(x2)=
1
3
2
3x1+1
-
2
3x2+1
)=-
2
3
3x1-3x2
(3x1+1)(3x2+1)
)…(12分)
因为x1<x2,所以3x2-3x1>0,所以f(x1)>f(x2),
因此f(x)在R上递减.…(14分)
点评:本题考查指数不等式的解法,考查函数奇偶性的应用,考查函数单调性的判断与证明,属于综合题,难度大,运算量大,属于难题.
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