题目内容
(2012•宝山区一模)已知函数f(x)=
.
(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.
-3x+a | 3x+1+b |
(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.
分析:(1)由题意可得
≥3x从中解得-1≤3x≤
,解此指数不等式即可求得x的取值范围;
(2)由f(0)=0,可求得a,f(1)+f(-1)=0可求得b,从而可得y=f(x)的解析式;利用单调性的定义,对任意x1,x2∈R,x1<x2,再作差f(x1)-f(x2),最后判断符号即可.
1-3x |
3x+1+1 |
1 |
3 |
(2)由f(0)=0,可求得a,f(1)+f(-1)=0可求得b,从而可得y=f(x)的解析式;利用单调性的定义,对任意x1,x2∈R,x1<x2,再作差f(x1)-f(x2),最后判断符号即可.
解答:解:(1)由题意,
≥3x,化简得3•(3x)2+2×3x-1≤0…(2分)
解得-1≤3x≤
…(4分)
所以x≤-1…((6分),如果是其它答案得5分)
(2)已知定义域为R,所以f(0)=
=0⇒a=1,…(7分)
又f(1)+f(-1)=0⇒b=3,…(8分)
所以f(x)=
;…(9分)
f(x)=
=
(
)=
(-1+
)
对任意x1,x2∈R,x1<x2,
可知f(x1)-f(x2)=
(
-
)=-
(
)…(12分)
因为x1<x2,所以3x2-3x1>0,所以f(x1)>f(x2),
因此f(x)在R上递减.…(14分)
1-3x |
3x+1+1 |
解得-1≤3x≤
1 |
3 |
所以x≤-1…((6分),如果是其它答案得5分)
(2)已知定义域为R,所以f(0)=
-1+a |
3+b |
又f(1)+f(-1)=0⇒b=3,…(8分)
所以f(x)=
1-3x |
3x+1+3 |
f(x)=
1-3x |
3x+1+3 |
1 |
3 |
1-3x |
3x+1 |
1 |
3 |
2 |
3x+1 |
对任意x1,x2∈R,x1<x2,
可知f(x1)-f(x2)=
1 |
3 |
2 |
3x1+1 |
2 |
3x2+1 |
2 |
3 |
3x1-3x2 |
(3x1+1)(3x2+1) |
因为x1<x2,所以3x2-3x1>0,所以f(x1)>f(x2),
因此f(x)在R上递减.…(14分)
点评:本题考查指数不等式的解法,考查函数奇偶性的应用,考查函数单调性的判断与证明,属于综合题,难度大,运算量大,属于难题.

练习册系列答案
相关题目