题目内容
【题目】设函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,若对
,都有
(
)成立,求
的最大值.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)0
【解析】
(1),
.对
分类讨论,可得其单调区间.
(2)当时,对
,都有
恒成立,
,令
,只需
,利用导数研究其单调性即可得出.
解:(1),
.
当时,
在
恒成立,
在
是单减函数.
当时,令
,解之得
.
从而,当变化时,
,
随
的变化情况如下表:
- | 0 | + | |
单调递减 | 单调递增 |
由上表中可知,在
是单减函数,在
是单增函数.
综上,当时,
的单减区间为
;
当时,
的单减区间为
,单增区间为
.
(2)当,
为整数,且当
时,
恒成立
.
令,只需
;
又,
由(1)得在
单调递增,且
,
所以存在唯一的,使得
,
当,即
单调递减,
当,即
单调递增,
所以时,
取得极小值,也是最小值,当
时,
而在
为增函数,
,
即.而
,
,
即所求
的最大值为0.
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