Question

【题目】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

（Ⅰ）求证：平面 ；

（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．

【解析】解法一：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，，

又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．

（Ⅱ）如图，在平面BEC内，过点B作,因为．

又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,2），B（0,0,0），E（2,0,0），F（2,2,1）．因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，

设为平面AEF的法向量.又

由取得.

从而

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

解法二：（Ⅰ）如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，

又面，面，所以平面．

在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．

又面，面，所以面．

又因为，面，面，

所以面平面，因为面，所以平面．

（Ⅱ）同解法一．