Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数， ）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有两个零点时，证明： .

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在R上单调递增.(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）对求导，再对进行分类讨论，根据导数与函数的单调性的关系，即可求得函数的单调性；（2）当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，故，设函数的两个零点为，代入到，可得，作差后，令结合，求得，欲证，只需证明，构造，求导，根据函数的单调性即可求得，从而证出.

试题解析：（1）解：∵

∴当时，令，即当时， ，

当时， ，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时， 恒成立，故此时函数在R上单调递增.

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以

设函数的两个零点为，则

∴

∴

设

解得，所以

欲证，只需证明

设，则

设，则单调递增

∴

∴在区间上单调递增

∴

∴，故成立．