Question

（2008•海珠区一模）已知点A（1+sin（

π

2

-2x），1），B（1，

3

sin（π-2x）+a）（x∈R，a），y=

OA

•

OB

．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）当x∈[0，

π

3

]时f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，化简f（x）的解析式为2sin（

π

6

+2x）+a+1．
 （2）根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，从而求出f（x）=2sin（

π

6

+2x）+a+1的最大值，再根据它的最大值等于4求出a的值

解答：解：∵（1）点A（1+sin（

π

2

-2x），1），B（1，

3

sin（π-2x）+a）（a、x∈R，），
∴y=f（x）=

OA

•

OB

=（1+sin（

π

2

-2x），1）•（1，

3

sin（π-2x）+a）=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（

π

6

+2x）+a+1
（2）当x∈[0，

π

3

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，故当2x+

π

6

=

π

2

时，函数y有最大值等于2+a+1=4，a=1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．