Question

（2013•顺义区二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD的中点，F为AA₁的中点．
（I）求证：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求证：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小为45°，求AB的长．

Answer 1

分析：（I）利用长方体的性质可得A₁B₁⊥AD₁．由于侧面四边形ADD₁A₁为正方形，可得对角线A₁D⊥AD₁，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（II）取AB₁的中点为N，连接NF．利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到四边形NEDF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（III）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答：（I）证明：在长方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴A₁B₁⊥AD₁．
∵AA₁=AD，
∴四边形ADD₁A₁为正方形，
∴A₁D⊥AD₁，
又A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
又A1B1

∥

.

CD，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形．
又E在CD上，
∴AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）取AB₁的中点为N，连接NF．
∵F为AA₁的中点，∴NF

∥

.

1

2

A1B1，
∵E为CD的中点，∴DE=

1

2

CD，
而CD

∥

.

A1B1，
∴NF

∥

.

DE，
因此四边形NEDF为平行四边形，
∴DF∥NE，而NE?平面AB₁E，DF?平面AB₁E．
∴DF∥平面AB₁E．
（III）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=a，
则A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E(

a

2

，1，0)，B₁（a，0，1）．
则

AD1

=(0，1，1)，

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)．
由（I）可知AD₁⊥平面A₁B₁E，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一个法向量．
设平面AB₁E的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AB1 =0 n • AE =0

，得

ax+z=0 a 2 x+y=0

．
令x=1，则y=-

a

2

，z=-a，
∴

n

=(1，-

a

2

，-a)．
∴|cos＜

n

，

AD1

＞|=

| n • AD1 |

| n | | AD1 |

=

|- a 2 -a|

2 × 1+ a2 4 +a2

．
因为二面角A-B₁E-A₁的大小为45°，
∴

3a 2

2 • 1+ 5a2 4

=

2

2

，
解得a=1，
即AB的长为1．

点评：熟练掌握长方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角解决二面角的方法是解题的关键．