题目内容
(2013•顺义区二模)已知函数f(x)=
,其中a为正实数,x=
是f(x)的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当b>
时,求函数f(x)在[b,+∞)上的最小值.
ex |
1+ax2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当b>
1 |
2 |
分析:(Ⅰ)依题意,x=
是函数y=f(x)的一个极值点,由f′(
)=0即可求得a的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
,令f′(x)=0,可求得极值点,通过对f(x)与f′(x)的变化情况列表,可求得f(x)的单调区间,再对b分
<b<
与b≥
两类讨论即可求得函数f(x)在[b,+∞)上的最小值.
1 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
(
| ||||
(1+
|
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
解答:解:f′(x)=
,
(Ⅰ)因为x=
是函数y=f(x)的一个极值点,
所以f′(
)=0,
因此,
a-a+1=0,
解得a=
,
经检验,当a=
时,x=
是y=f(x)的一个极值点,故所求a的值为
.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f′(x)=
,
令f′(x)=0,得x1=
,x2=
,
f(x)与f′(x)的变化情况如下:
所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,
),(
,+∞).单调递减区间是(
,
).
当
<b<
时,f(x)在[b,
)上单调递减,在(
,+∞)上单调递增,
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(
)=
,
当b≥
时,f(x)在[b,+∞)上单调递增,
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(b)=
=
.…(13分)
(ax2-2ax+1)ex |
(1+ax2)2 |
(Ⅰ)因为x=
1 |
2 |
所以f′(
1 |
2 |
因此,
1 |
4 |
解得a=
4 |
3 |
经检验,当a=
4 |
3 |
1 |
2 |
4 |
3 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f′(x)=
(
| ||||
(1+
|
令f′(x)=0,得x1=
1 |
2 |
3 |
2 |
f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x | (-∞,
|
|
(
|
|
(
| ||||||||||||
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||||||
f(x) |
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
当
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(
3 |
2 |
e
| ||
4 |
当b≥
3 |
2 |
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(b)=
eb |
1+ab2 |
3eb |
3+4b2 |
点评:本题考查函数在某点取得极值的条件,考查利用导数求闭区间上函数的最值,突出分类讨论思想与方程思想的考查,属于中档题.
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