题目内容
过抛物线y2=4x顶点O的直线l1、l2与抛物线的另一个交点分别为A、B,l1⊥l2,OD⊥AB,垂足为D,则D点的轨迹方程为( )
A.y2=x(x≠0) | B.
| ||
C.(x-2)2+y2=4(x≠0) | D.(x-2)2+y2=4 |
设直线OA的方程为y=kx,则
,消去y得x=
,
∴点A的坐标为(
,
),
∵l1⊥l2,
∴直线OA的方程为y=-
x,点B的坐标为(4k2,-4k),
则直线AB的斜率为
=
,
∴直线AB的方程为y+4k=
(x-4k2),
整理可得,y=
(x-4),
故直线AB经过定点(4,0),
∵OD⊥AB,垂足为D,则OD的垂直平分线必定经过点(2,0),
∴点(2,0)到原点O的距离等于到点D的距离,
又点(2,0)到原点O的距离为2,
∴点D到定点(2,0)的距离恒为定值2,
根据圆的定义可知,点D的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的一个圆,
∴点D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4,
故选:D.
|
4 |
k2 |
∴点A的坐标为(
4 |
k2 |
4 |
k |
∵l1⊥l2,
∴直线OA的方程为y=-
1 |
k |
则直线AB的斜率为
| ||
|
k |
1-k2 |
∴直线AB的方程为y+4k=
k |
1-k2 |
整理可得,y=
k |
1-k2 |
故直线AB经过定点(4,0),
∵OD⊥AB,垂足为D,则OD的垂直平分线必定经过点(2,0),
∴点(2,0)到原点O的距离等于到点D的距离,
又点(2,0)到原点O的距离为2,
∴点D到定点(2,0)的距离恒为定值2,
根据圆的定义可知,点D的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的一个圆,
∴点D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4,
故选:D.
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