题目内容

过抛物线y2=4x顶点O的直线l1、l2与抛物线的另一个交点分别为A、B,l1⊥l2,OD⊥AB,垂足为D,则D点的轨迹方程为(  )
A.y2=x(x≠0)B.
x2
4
-y2=1(x
≥2)
C.(x-2)2+y2=4(x≠0)D.(x-2)2+y2=4
设直线OA的方程为y=kx,则
y=kx
y2=4x
,消去y得x=
4
k2

∴点A的坐标为(
4
k2
4
k
),
∵l1⊥l2
∴直线OA的方程为y=-
1
k
x,点B的坐标为(4k2,-4k),
则直线AB的斜率为
4
k
+4k
4
k2
-4k2
=
k
1-k2

∴直线AB的方程为y+4k=
k
1-k2
(x-4k2),
整理可得,y=
k
1-k2
(x-4),
故直线AB经过定点(4,0),
∵OD⊥AB,垂足为D,则OD的垂直平分线必定经过点(2,0),
∴点(2,0)到原点O的距离等于到点D的距离,
又点(2,0)到原点O的距离为2,
∴点D到定点(2,0)的距离恒为定值2,
根据圆的定义可知,点D的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的一个圆,
∴点D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4,
故选:D.
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