题目内容
【题目】如图:在三棱锥中,是直角三角形,,点分别为的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)连结BD,根据题意可知BD⊥AC,EF∥AC,从而得到,又因为PB⊥面ABC,得到PB,利用线面垂直的判定定理,证得平面PBD;
(Ⅱ)根据题意,建立适当的坐标系,根据题中所给的边长,确定对应点的坐标,分别求出两个平面的法向量,再由夹角公式求二面角的余弦值,从而求得结果.
(Ⅰ)证明:连接BD、在△ABC中,∠B=90°.
∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.
∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF∥AC,
,又∵PB⊥面ABC,EF平面ABC,∴PB,
平面PBD;
(Ⅱ)∵∴PB=BC=2
如图建立空间直角坐标系,
则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则
=(-1,2,0), =(-1,0,2)
设平面PEC的一个法向量为=(x,y,z),
则 =0, =0
即
令x=2,得y=1,z=1
∴=(2,1,1),由已知可得,向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量
∴cos<,>== ,
∴二面角E-PC-B的余弦值为 ..
【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三全体名学生中随机抽取了名学生的体检表,并得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在以下的人数,并估计这名学生视力的中位数(精确到);
(Ⅱ)学习小组发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体成绩名次在前名和后名的学生进行了调查,部分数据如表1,根据表1及临界表2中的数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系?
年段名次 是否近视 | 前名 | 后名 |
近 视 | ||
不近视 |
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
(参考公式: ,其中)