题目内容
（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f(x+1)=
f(x)，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[
f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn．
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[
| n |
| 2 |
分析：（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=
f（n），取x=0，得f(1)=
f(0)=1，故数列{f（n）}为等比数列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故数列{g（n）}是等差数列，进而得到答案．
（Ⅱ）由题意可得：Cn=g[
f(n)]=g[
(
)n-1]=n(
)n-1+3，然后利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由题意可得：Cn=g[
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：（Ι）取 x=n，则f(n+1)=
f(n)，取x=0，得f(1)=
f(0)=1．
故{f（n）}是首项为1，公比为
的等比数列，∴f（n）=(
)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N*），即g（n+1）-g（n）=2．
∴g（n）公差为2的等差数列．
又g（5）=13，
因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3，即g（n）=2n+3．
（ΙΙ）cn=g[
f(n)]=g[
(
)n-1]=n(
)n-1+3．
∴Sn=c1+c2+…+cn
=1+2(
)+3(
)2+4(
)3+…+(n-1)(
)n-2+n(
)n-1+3n，
则
Sn=
+2(
)2+3(
)3+…+(n-1)(
)n-1+n(
)n+n，
两式相减得，
Sn=1+
+(
)2+…+(
)n-1-n(
)n+2n=
-n(
)n+2n=
[1-(
)n]-n(
)n+2n，
∴Sn=
[1-(
)n]-
(
)n+3n=
-
(
)n-1-
(
)n-1+3n=
+3n-
•(
)n-1．
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
故{f（n）}是首项为1，公比为
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N*），即g（n+1）-g（n）=2．
∴g（n）公差为2的等差数列．
又g（5）=13，
因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3，即g（n）=2n+3．
（ΙΙ）cn=g[
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴Sn=c1+c2+…+cn
=1+2(
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
则
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
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| 3 |
两式相减得，
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
1-(
| ||
1-
|
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴Sn=
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 3n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 2n+3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
点评：解决此类问题的关键是利用函数的赋值法求出数列的通项公式，掌握数列通项公式求出的方法以及求数列和的最值的方法，此题是数列与函数的综合题型属于难题．
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