设函数f(x)=$\sqrt{3}$asinωxcosωx+acos2ωx-$\frac{1}{2}$的最大值为1.且其图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$.若将函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位.所得图象对应函数为gA．f(x)的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称.g(x)图象关于原点对称B．f(x)的图象关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．设函数f（x）=$\sqrt{3}$asinωxcosωx+acos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0，a＞0）的最大值为1，且其图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，所得图象对应函数为g（x），则（　　）

	A．	f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，g（x）图象关于原点对称
	B．	f（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，g（x）图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称
	C．	f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，g（x）图象关于原点对称
	D．	f（x）的图象关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称，g（x）图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称

分析由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值以及它的图象的对称性，得出结论．

解答解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$asinωxcosωx+acos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$asinωx+$\frac{a}{2}$cosωx+$\frac{a-1}{2}$
=asin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a-1}{2}$，
由函数的最大值为a+$\frac{a-1}{2}$=1，可得 a=1，
再根据函数的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=2，
故 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，所得图象对应函数为g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，
当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，故排除A．
当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故f（x）的图象不关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，故排除B．
当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）=1，是函数的最大值，故f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，g（x）图象关于原点对称，
故C满足条件．
当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=0，是函数的最大值，故f（x）的图象关于（$\frac{5π}{12}$，0）对称，但函数g（x）=sin2x的
图象不关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，故排除D，
故选：C．

点评本题主要考查三角恒等变换、利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值以及它的图象的对称性，属于中档题．