题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若函数有两个零点
,求
的取值范围,并证明
.
【答案】(1)当时,
在
处取得的极大值
;函数
无极小值. (2)
证明见解析
【解析】试题分析:(1)求出,令
求得
的范围,可得函数
增区间,令
求得
的范围,可得函数
的减区间,从而可得函数
的极值;(2)对
进行讨论:
,
,
,
,针对以上四种情况,分别利用导数研究函数的单调性,利用单调性讨论函数
有两个零点情况,排除不是两个零点的情况,可得
有两个零点时,
的取值范围是
,由(1)知
在
单调递减,故只需证明
即可,又
,只需利用导数证明
即可.
试题解析:(1)由得
,
当时,
,若
;若
,
故当时,
在
处取得的极大值
;函数
无极小值.
(2)当时,由(1)知
在
处取得极大值
,且当
趋向于
时,
趋向于负无穷大,又
有两个零点,则
,解得
.
当时,若
;若
;若
,则
在
处取得极大值,在
处取得极小值,由于
,则
仅有一个零点.
当时,
,则
仅有一个零点.
当时,若
;若
;若
,则
在
处取得极小值,在
处取得极大值,由于
,则
仅有一个零点.
综上, 有两个零点时,
的取值范围是
.
两零点分别在区间和
内,不妨设
.
欲证,需证明
,
又由(1)知在
单调递减,故只需证明
即可.
,
又,
所以,
令,则
,
则在
上单调递减,所以
,即
,
所以.
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