题目内容
(本小题满分14分)已知函数处取得极值2。
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)当满足什么条件时,函数在区间上单调递增?
(Ⅲ)若为图象上任意一点,直线与的图象切于点P,求直线的斜率的取值范围
(Ⅰ)。
(Ⅱ)当时,函数在区间上单调递增。
(Ⅲ)直线的斜率的取值范围是。
解析试题分析:(Ⅰ)因为 ·········2分
而函数在处取得极值2,
所以, 即 解得
所以即为所求 ············4分
(Ⅱ)由(1)知
令得:
则的增减性如下表:
可知,的单调增区间是[-1,1], ·····6分(-∞,-1) (-1,1) (1,+∞) 负 正 负
所以
所以当时,函数在区间上单调递增。 ·········9分
(Ⅲ)由条件知,过的图象上一点P的切线的斜率为:
11分
令,则,
此时,的图象性质知:
当时,;
当时,
所以,直线的斜率的取值范围是 ···········14分
考点:本题主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的极值及单调性。
点评:典型题,过的图象上一点P的切线的斜率为函数在该点的导数值。利用导数研究函数的单调性,主要导函数值的正负。
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