题目内容

(本小题满分14分)已知函数
(I)求函数上的最小值;
(II)对一切恒成立,求实数的取值范围;
(III)求证:对一切,都有
(I)f ′(x)=lnx+1,当x∈(0,),f ′(x)<0,f (x)单调递减,
当x∈(,+∞),f ′(x)>0,f (x)单调递增.                ……2分
①0<t<t+2<,t无解;
②0<t<<t+2,即0<t<时,f (x)min=f ()=-
≤t<t+2,即t≥时,f (x)在[t,t+2]上单调递增,f (x)min=f (t)=tlnt;
所以f (x)min.                                                ……5分
(II)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,                           ……6分
设h (x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=,x∈(0,1),h′(x)<0,h (x)单调递减,
x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)单调递增,所以h (x)min=h (1)=4,
因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g (x)恒成立,
所以a≤h (x)min=4.……10分
(III)问题等价于证明xlnx>(x∈(0,+∞)),
由(I)可知f (x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.    
设m (x)=(x∈(0,+∞)),则m ′(x)=
易得m (x)max=m (1)=-,当且仅当x=1时取到,
从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>.                         ……14分
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