题目内容
【题目】定义在上的函数
,若已知其在
内只取到一个最大值和一个最小值,且当
时函数取得最大值为
;当
,函数取得最小值为
.
(1)求出此函数的解析式;
(2)是否存在实数,满足不等式
?若存在,求出
的范围(或值),若不存在,请说明理由;
(3)若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的
得到函数
,再将函数
的图像向左平移
个单位得到函数
,已知函数
的最大值为
,求满足条件的
的最小值.
【答案】(1);(2)存在
,见解析;(3)最小值为
【解析】
(1)利用最大值和最小值可确定,又
,可求得
;根据
,结合
的范围可求得
,从而得到解析式;(2)首先保证原式有意义可得到
;根据二次函数性质可确定
,
;由函数在
上递增可确定
,解不等式求得结果;(3)根据三角函数伸缩和平移变化得到
和
;由复合函数单调性可确定当
取最大值时,需
与
同时取得,从而求得
,根据
确定最小值.
(1),
,
,
解得:,
,又
(2)满足
,解得:
同理
由(1)知函数在上递增
若有
只需要:,即
成立即可
存在
,使
成立
(3)由题意知:,
函数
与函数
均为单调增函数,且
,
当且仅当
与
同时取得才有函数的最大值为
由得:
,
则
,
又
的最小值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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