题目内容
【题目】已知函数有两个极值点
。
(1)求的取值范围;
(2)求证:。
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:第一问利用题中的条件函数有两个极值点,相当于导数等于零有两个解,对函数求导,再求二阶导,对函数图像的走向加以分析,最后求得结果,第二问构造相应的函数,研究函数的图像,找出其对应的最值,最后求得结果.
详解:(1),设
,则
,
当时,
,所以
在
单调递减,
当时,
,所以
在
单调递增,
所以当时,
取得最小值
,
因为函数有两个极值点,所以函数
有两个零点,
所以,所以
,此时
,
,
设,则
,
因为时,
;
时,
;
所以在
上单调递减,在
单调递增,
所以,即
,
所以,即
,
综上可得的取值范围是
。
(2)由(1)知是方程
的两根,所以
,
且时,
,所以
是
上的减函数,
所以
,
因为,所以
,即
所以
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