题目内容
已知椭圆:()过点(2,0),且椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
(1);(2)直线恒过定点.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用点在椭圆上和离心率得到方程组,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论,(ⅰ)若存在点P在MN上,设出直线MN的方程,由于直线MN与椭圆相交,所以两方程联立,得到两根之和,结合中点坐标公式,得到直线MN的斜率,由于直线MN与直线垂直,从而得到直线的斜率,因为直线也过点P,写出直线的方程,经过整理,即可求出定点,(ⅱ)若直线MN的斜率不存在,则直线MN即为,而直线为x轴,经验证直线,也过上述定点,所以综上所述,有定点.
(1)因为点在椭圆上,所以, 所以, 1分
因为椭圆的离心率为,所以,即, 2分
解得, 所以椭圆的方程为. 4分
(2)设,,
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
由得,
所以, 因为为中点,所以,即.
所以, 8分
因为直线,所以,所以直线的方程为,
即 ,显然直线恒过定点. 10分
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线为轴,也过点.
综上所述直线恒过定点. 12分
考点:椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理.
设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点,从每条曲线上各取两点,将其坐标记录于下表中:
3 | -2 | 4 | ||
0 | -4 |
(1)求曲线C1,C2的标准方程;
(2)设直线与椭圆C1交于不同两点M、N,且。请问是否存在直线过抛物线C2的焦点F?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.