题目内容

已知椭圆)过点(2,0),且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。

(1);(2)直线恒过定点

解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用点在椭圆上和离心率得到方程组,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论,(ⅰ)若存在点P在MN上,设出直线MN的方程,由于直线MN与椭圆相交,所以两方程联立,得到两根之和,结合中点坐标公式,得到直线MN的斜率,由于直线MN与直线垂直,从而得到直线的斜率,因为直线也过点P,写出直线的方程,经过整理,即可求出定点,(ⅱ)若直线MN的斜率不存在,则直线MN即为,而直线为x轴,经验证直线,也过上述定点,所以综上所述,有定点.
(1)因为点在椭圆上,所以, 所以,          1分
因为椭圆的离心率为,所以,即,        2分
解得,  所以椭圆的方程为.          4分
(2)设
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为

所以, 因为中点,所以,即
所以,                    8分
因为直线,所以,所以直线的方程为
 ,显然直线恒过定点.      10分
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线轴,也过点.                 
综上所述直线恒过定点.      12分
考点:椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理.

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