Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）对求导，利用，得关于的方程解方程，即可求出的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，等价于恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，并对进行分类讨论，即可求出的最大值．

（Ⅰ）因为f

所以

，

又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

当时，恒成立，

等价于恒成立，

等价于恒成立．

设，

则，

因为，所以．

①当，即时，，

所以函数在上单调递增，

所以恒成立，

所以符合题意；

②当，即或时，

设，

则，

所以函数在上单调递增，

因为，

当时，，

所以，

所以在上存在，使得.

当时，，即；

当时，，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以，

所以或不合题意，舍去．

综上所述，实数的最大值为．