题目内容

【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.

(1)若,求证:

(2)若时,,求实数的取值范围.

【答案】(1)见证明;(2)

【解析】

(1)由题意知f′(x)=ex,(x>﹣a).对a分类讨论:当a=0时,可判断显然成立.当0<a≤1时,经过分析得出fx)的最小值为f(0),代入计算即可证明结论.

(2)等价于,利用进行放缩,转化为恒成立时的a的范围,得到a<1,再去举反例说明时,不恒成立,即可得到a的范围.

(1)由,得 .

,显然成立.

时,令 ,则

为增函数.

,可知函数为减函数,在上为增函数,

所以函数的最小值为

.

时,,所以成立,

综上当,有成立.

(2)因为当时,

所以

则有.

又因为,所以若,则有.

,则,由,得.

时,,函数上单调递减,

时,,函数上单调递增,

.

时,存在,使得成立,

这与矛盾,所以,又

综上,即实数的取值范围.

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