题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若,求证:;
(2)若时,,求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由题意知f′(x)=ex,(x>﹣a).对a分类讨论:当a=0时,可判断显然成立.当0<a≤1时,经过分析得出f(x)的最小值为f(0),代入计算即可证明结论.
(2)等价于,利用进行放缩,转化为恒成立时的a的范围,得到a<1,再去举反例说明时,不恒成立,即可得到a的范围.
(1)由,得 .
当,,显然成立.
当时,令 ,则,
故在为增函数.
又,可知函数在为减函数,在上为增函数,
所以函数在的最小值为,
且.
当时,,,所以成立,
综上当,有成立.
(2)因为当时,,
所以,
则有.
又因为,所以若,则有.
令 ,则,由,得.
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
故 ,
得.
当时,存在,使得成立,
这与矛盾,所以,又,
综上,即实数的取值范围.
【题目】2020年春,新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延,病毒传染性强并严重危害人民生命安全,国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离,为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作,各地医护人员纷纷逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响,由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品,记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价,得到下面的2×2列联表.
特别满意 | 基本满意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被调查的男性居民中有5个年轻人,其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意,现在这5名年轻人中随机抽取3人,求至多有1人特别满意的概率.
(2)能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异?
附:
【题目】学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研,从该校学生中随机抽取了100名学生,通过调查统计得到列联表的部分数据如下表:
自律性一般 | 自律性强 | 合计 | |
成绩优秀 | 40 | ||
成绩一般 | 20 | ||
合计 | 50 | 100 |
(1)补全列联表中的数据;
(2)判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据:.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |