题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴，离心率为
，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
，过椭圆左焦点
的直线
交于
，
两点，若对满足条件的任意直线，不等式
恒成立，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据条件列方程组，解得
，
，即得结果；
（2）先讨论直线斜率不存在情况，得
，再研究直线斜率存在情况，设直线方程与椭圆方程联立，利用向量数量积以及韦达定理化简
得关于直线斜率的函数关系式，根据分式函数单调性确定函数值域，最后比较两种情况得结果.
（1）依题意，
，解得，，∴椭圆
的标准方程为.
（2）设
，
，
当直线
垂直于
轴时，
，
且
，
此时
，
，∴
.
当直线不垂直于轴时，设直线：
，
由
，得
，
∴
，
，
∴
，
∴
.
要使不等式
恒成立，
只需
，即
的最小值为.
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