Question

2．若满足不等式（x-3+a）•ln$\frac{x}{a}$＜0的整数x有且仅有2个，则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，3]．

Answer 1

分析 问题转化为求不等式组的解集，通过讨论a的范围，求出x的范围，结合整数x有且仅有2个，从而求出a的范围．

解答 解：由（x-3+a）•ln$\frac{x}{a}$＜0，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x-3+a＜0}\\{ln\frac{x}{a}＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x-3+a＞0}\\{ln\frac{x}{a}＜0}\end{array}\right.$②，
由①得：$\left\{\begin{array}{l}{x＜3-a}\\{\frac{x}{a}＞1}\end{array}\right.$，
a＞0时：得：a＜x＜3-a，
满足条件的整数x有且仅有2个，
∴0＜a＜1；
a＜0时：解得x＜a，不合题意；
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞3-a}\\{0＜\frac{x}{a}＜1}\end{array}\right.$，
a＞0时：x＞0，x＜a，
∴3-a＜x＜a，3-a≥0，a≤3，
满足条件的整数x有且仅有2个，
∴2＜a≤3；
a＜0时：x＜0，x＞a，
∴x＞3-x＞0，不合题意；
综上：a的范围是（0，1）∪（2，3]，
故答案为：（0，1）∪（2，3]．

点评 本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，对数函数的性质，是一道中档题．