Question

7．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，圆C₂的极坐标方程为ρ=4cos（θ+$\frac{π}{6}$），已知C₁与C₂交于A，B两点，其中点B（x_B，y_B）位于第一象限，求点A和点B的极坐标．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程，联立解出交点直角坐标，化为极坐标即可．

解答 解：圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程为：x²+y²=4y；
圆C₂的极坐标方程为ρ=4cos（θ+$\frac{π}{6}$），展开化为ρ²=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-\frac{1}{2}ρsinθ）$，可得直角坐标方程：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x-2y$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x-2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（0，0），
∵ρ_B=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=$\frac{π}{6}$，可得极坐标为B$（2，\frac{π}{6}）$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化的方法、圆的方程，考查了计算能力，属于中档题．