Question

3．如图，已知点F（0，p），直线l：y=-p（其中p为常数，且p＞0），M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为N，且$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NF}$=$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设Q是l上的任意一点，过Q作轨迹C的切线，切点为A、B．
①求证：A、Q、B三点的横坐标成等差数列；
②若Q（-4，-p），AB=20，求P的值．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），则 N（x，-p），又 F（0，p），分别求得向量NM，NF，FM，FN的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，化简可得4py=x²，即为所求的动点M的轨迹方程；
（2）①设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4p}$），Q（m，-p），设切线为y+p=k（x-m），联立抛物线方程x²=4py，运用判别式为0和韦达定理，及等差数列的性质，计算即可得到；
②由两点的距离公式，结合①的结论，即可解得p=1．

解答 解：（1）设点M（x，y），则 N（x，-p），
又 F（0，p），
则 $\overrightarrow{NM}$=（0，p+y），$\overrightarrow{NF}$=（-x，2p），$\overrightarrow{FM}$=（x，y-p），$\overrightarrow{FN}$=（x，-2p），
由$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NF}$=$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$，可得2p（p+y）=x²-2p（y-p），
化简可得4py=x²，
动点M的轨迹C的方程为x²=4py；
（2）①证明：设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4p}$），Q（m，-p），
设切线为y+p=k（x-m），
联立抛物线方程x²=4py，
可得x²-4pkx+4p（km+p）=0，
由判别式为0，即16p²k²-16p（km+p）=0，
即pk²-km-p=0，
即有k₁+k₂=$\frac{m}{p}$，k₁k₂=-1，
可得切点的横坐标为x₁=2pk₁，
x₂=2pk₂，
可得x₁+x₂=2p（k₁+k₂）=2m，
故A、Q、B三点的横坐标成等差数列；
②由①可得x₁+x₂=2p（k₁+k₂）=2m=-8，
x₁x₂=4p²•（k₁k₂）=-4p²，
则|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4p}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4p}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$•$\sqrt{1+\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{16{p}^{2}}}$
=$\sqrt{64+16{p}^{2}}$•$\sqrt{1+\frac{64}{16{p}^{2}}}$=20，
解得p=1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查向量的数量积的坐标表示，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线和抛物线相切的条件，两点间的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．