题目内容

12.设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数f′(x)=3ax(x-1),且a>2,则函数f(x)的零点个数为(  )
A.0B.1C.2D.3

分析 根据导数的公式求出a,b,c的关系以及函数的解析式,求函数的极值,根据极值和零点的关系进行求解即可.

解答 解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+1
∴f′(x)=3ax2+2bx+c
又∵f′(x)=3ax(x-1)=3ax2-3ax,
∴2b=-3a,c=0,即b=-$\frac{3}{2}$a,c=0,
则f(x)=ax3-$\frac{3}{2}$ax2+1,
∵a>2,
∴-$\frac{1}{2}$a+1<0,
∴f(1)=-$\frac{1}{2}$a+1<0,
又f(0)=1>0,
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如表所示:

(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞) 
f′(x) +0-0+
f(x) ↑  ↓  ↑ 
所以函数f(x)的零点个数为3个.
故选:D.

点评 本题主要考查求函数零点的个数,求函数的导数,利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.属于中档题型.

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