题目内容
12.设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数f′(x)=3ax(x-1),且a>2,则函数f(x)的零点个数为( )A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
分析 根据导数的公式求出a,b,c的关系以及函数的解析式,求函数的极值,根据极值和零点的关系进行求解即可.
解答 解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+1
∴f′(x)=3ax2+2bx+c
又∵f′(x)=3ax(x-1)=3ax2-3ax,
∴2b=-3a,c=0,即b=-$\frac{3}{2}$a,c=0,
则f(x)=ax3-$\frac{3}{2}$ax2+1,
∵a>2,
∴-$\frac{1}{2}$a+1<0,
∴f(1)=-$\frac{1}{2}$a+1<0,
又f(0)=1>0,
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如表所示:
x | (-∞,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↑ | ↓ | ↑ |
故选:D.
点评 本题主要考查求函数零点的个数,求函数的导数,利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.属于中档题型.
练习册系列答案
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