题目内容
【题目】已知函数 ,
.
(Ⅰ)当 时,
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅱ)当 时,研究函数
的零点个数;
(Ⅲ)求证: (参考数据:
).
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)当
时无零点;当
时有一个公共点. (Ⅲ)见解析.
【解析】【试题分析】(1)构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求;(2)构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况,确定函数的图像的交点的个数;(3)借助(1)、(2)的结论运用缩放的方法进行分析推证:
(Ⅰ)令则
①若,则
,
,
在
递增,
,即
在
恒成立,满足,所以
;
②若,
在
递增,
且
且时,
,则
使
进而
在
递减,在
递增,
所以当时
,即当
时,
,不满足题意,舍去;
综合①,②知的取值范围为
.
(Ⅱ)依题意得,则
,
则在
上恒成立,故
在
递增,
所以,且
时,
;
若,即
,则
,故
在
递减,所以
,
在
无零点;②若
,即
,则
使
,进而
在
递减,在
递增,
且
时,
,
在
上有一个零点,在
无零点,故
在
有一个零点.
综合①②,当时无零点;当
时有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当时,
对
恒成立,
令,则
即
;
由(Ⅱ)知,当时,
对
恒成立,
令,则
,所以
;
故有.
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