题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)由题知得到,解方程组即可.
(2)设直线:
,由
得:
.利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到
,解方程即可.
(3)设直线:
,带入椭圆方程得到
.根据韦达定理和等差中项的性质得到
,解方程即可求出直线方程.
(1)设椭圆的方程为,
由题设得,∴
.
∴椭圆的方程是
.
(2)设直线:
,设
,
,
由得:
.
,
.
与抛物线
有两个交点,
,
,
则.
到
的距离
,
又,所以
.
,故
.
(3)设直线:
,设
,
,
由消去
得:
.
因为在椭圆内部,所以
与椭圆恒有两个交点,
所以.
由,
,
成等差数列得
.
.
所以解得:
.
所以直线的方程为
.
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